Grashüpfers Lösung

BEWEIS-SKIZZE nicht nur für Mathematiker

Der Beweis ist ein typischer Fall von Induktionsbeweis:

1. man beweist die Behauptung zunächst für die kleinstmögliche Anzahl n=2 der vorgegebenen (positiven ganzen) Zahlen, also für a₁, a₂. In diesem Fall besteht die Menge M nur aus einer Zahl, nennen wir sie m.

Es gibt 3 Fälle:m = a₁ m = a₂ m ist weder a₁ noch a₂ (und m = a₁ +a₂ ist nach Vorgabe ausgeschlossen!) Da ist zu sehen, wie der Grashüpfer hüpfen muss: im ersten Fall springt er zunächst nach a₂, im zweiten nach a₁, und im dritten funktioniert beides.

2. Die eigentliche Induktion: Man beweist, dass, wenn die Behauptung für n1 richtig ist, sie auch für n richtig sein muss. Hat man das geschafft, ist man fertig!

Wie eigentlich immer bei Induktionsbeweisen ist der zweite Teil der ernsthaft schwierige. Zunächst muss man bestimmte (geeignete) Teilsummen der ganzen Zahlen von a₁ an bilden und mit diesem Instrumentarium dann 2 Nebenbehauptungen aufstellen (und beweisen!), mit deren Hilfe man dann den Induktionsbeweis vollendet. Cornelius Noack